Técnicas de conteo

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Son los métodos para determinar sin tener que numerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de los elementos de un conjunto en particular, también se le conoce como análisis combinatorio.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.



 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

                                               

                                              FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

PRINCIPIO DE COMBINACION: 

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

        n C r = n!                          r! (n – r)!

LISTAS

Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escriben entre paréntesis y separando los elementos por comas. 

Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el conjunto de los números enteros.

El orden en que aparecen los elementos en una lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que los elementos sean los mismos.

Los elementos en una lista pueden repetirse como en (2,2,3).

La longitud de una lista es la cantidad de elementos que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud de cuatro.

Una lista de longitud dos tiene el nombre especial de par ordenado.

Una lista de longitud cero se llama lista vacía y se representa por un paréntesis sin elementos en él: ( ).

Con frecuencia las coordenadas de un punto en un plano se especifican mediante un par ordenado de números reales (x,y).

Conceptos básicos de probabilidad

FENÓMENO DETERMINISTICO: Es aquel que tiene una sola manera de ocurrir. Es aquel fenómeno cuya ocurrencia o no ocurrencia es una certeza.

FENÓMENO INDETERMINISTICO: Es aquel fenómeno que tiene más de una forma de ocurrir y no se tiene la certeza de cual manera es la que ocurrirá en un momento determinado. 

EXPERIMENTO: Es cualquier fenómeno indeterminístico.

ESPACIO MUESTRA: Es el conjunto de todos los resultados (maneras de ocurrir) posibles de un experimento. Se denota con la letra S

CARDINALIDAD DEL ESPACIO MUESTRA: Es el número de resultados posibles de un experimento. 

EVENTO: Es cualquier subconjunto obtenido del espacio muestra.

EVENTO SIMPLE: Es cada uno de los posibles resultados de un experimento.

COMPLEMENTO DE UN EVENTO: Es la negación de un evento. Es el conjunto de resultados posibles que no están considerados en un evento determinado.

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS: Sean A y B dos eventos del espacio muestra S. Se define A∩B como el conjunto de elementos que están en A y están en B. Es decir A∩B ={x | x ε A y x ε B} 

UNIÓN DE DOS EVENTOS: Sean A y B dos eventos del espacio muestra S. Se define AUB como el conjunto de elementos que están en A o están en B o están en ambos. Es decir AUB ={x | x ε A o x ε B o x ε A∩B } 

EVENTOS EXCLUYENTES: Son eventos que no tienen elementos en común. Es decir, A y B son excluyentes si y sólo si A∩B = Ø.

EVENTOS EXCLUYENTES Y EXHAUSTIVOS: Se dice que dos eventos son excluyentes y exhaustivos si al agrupar los dos eventos se tiene la totalidad del espacio muestra. Es decir, A y B son dos eventos excluyentes y exhaustivos si y sólo si A∩B = Ø y AUB = S 

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si una operación se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de estas se puede llevar a cabo una segunda operación en n2 formas, y si para cada una de las primeras dos formas se puede realizar una tercera operación en n3 formas y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1n2,...,nk formas.

NOTACIÓN FACTORIAL: Dado un número entero n, se define el factorial de n como el producto de todos los enteros consecutivos menores o iguales a n, es decir: n! = n(n-1) (n-2)···(3) (2) (1). En particular, se define 1! = 1, y 0! = 1. 

PERMUTACIONES: Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. Es un conjunto de objetos 

seleccionados en él cual el orden que guardan los elementos importa.

COMBINACIONES: Es la selección de un conjunto de objetos de un grupo mayor en el cual el orden que guardan sus elementos no importa. 

PROBABILIDAD: ES LA CUANTIFICACION DEL ESTADO DE CERTIDUMBRE EN LA OCURRENCIA DE UN FENÓMENO.

TRES ENFOQUES DE ASIGNACIÓN DE VALORES DE PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTO DADO. 

• ENFOQUE CLASICO O A PRIORI

 El enfoque clásico o a priori es tratar de asignar un valor a la probabilidad suponiendo lo siguiente:
 Cada uno de los eventos simples del espacio muestra tienen la misma oportunidad de ocurrir. Por lo tanto, la probabilidad de que un evento ocurra esta dada por la siguiente fórmula:

                 # de veces que ocurrió el evento E
P(A) =   -------------------------------------------
                 # de veces que se repitió el experimento

• ENFOQUE SUBJETIVO 

 Este enfoque se caracteriza porque la asignación de probabilidad se basa en apreciaciones de sujetos basadas en su experiencia personal

AXIOMAS BASICOS DE PROBABILIDAD 

1. Se le asigna un valor de probabilidad igual a 0 ó 0% a un suceso imposible de ocurrir y se le asigna el valor de probabilidad igual a 1 ó 100% a un suceso cuya ocurrencia es una certeza.

2. Cualquier evento A que pertenece a un espacio muestra S satisface la siguiente condición

0< P(A) < 1 

3. Dado un evento A que pertenece a un espacio muestra S. Si Ā representa el complemento del evento A, entonces:

P(Ā) = 1 – P(A) 

4. La suma de probabilidades de cada uno de los elementos del espacio muestra es siempre igual a 1. Es decir:

P(S) = 1. 

Términos básicos de la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos estudia las propiedades de conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en si mismas.

La teoría de conjuntos es la más elemental, es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. 

Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. 

Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto. Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso. Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.

Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.

Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto. 

Unión: Dados dos o más conjuntos, se define a la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos.

Intersección: Dados dos o más conjuntos, se define a la intersección de dos conjuntos, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.

Diferencia: Dados los conjuntos A y B, su diferencia, A-B, es los elementos que A no pertenece a B.

Diferencia simétrica: Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A-B y B-A.