Probabilidad y Estadística : Comprende, representa y aplica la probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) ¹ 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por

EJEMPLOS:

En una fábrica se utilizan tres máquinas A,B y C par producir independientemente el mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200 y la C 300, y todas las cajas contienen el mismo número de artículos. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0,06 para la máquina A, 0,02 para la B y 0,01 para la C. De la producción de un día se escoge al azar una caja y se extrae un artículo de esta caja también al azar. Calcular la probabilidad:

a)Que el articulo escogido sea defectuoso.

b)Que el articulo escogido haya sido fabricado por la máquina B, sabiendo que es defectuoso.

Respuesta.

a) El enunciado nos muestra que P(A)=1/6, P(B)=1/3, P©=1/2.

Usando la fórmula de las probabilidades totales se obtienen la probabilidad pedida:

La probabilidad de que una persona entre conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la probabilidad de que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es de 0.08. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad o sin licencia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?

P(EV) = 0.35 ; P( SL ) = 0.15 = P(EV ∩ SL ) = 0.08

P(EV U SL ) = 0.35 + 0.15 – 0.08 = 0.42

P(SL | EV) = 0.08/0.35 = 0.2286

La probabilidad de que una persona posea un teléfono celular es de 0.35, la probabilidad de que sea un profesionista es de 0.25 y la probabilidad de que ya sea profesionista o posea un teléfono celular es de 0.50.

Encuentre la probabilidad de que una persona a) Posea un teléfono celular y sea profesionista; b) Sea profesionista dado que no posee un teléfono celular; c) Posea un teléfono celular dado que es profesionista.

P(CE) = 0.35; P(PF) = 0.25 P(PF U CE) = 0.50

P(CE ∩ PF) = 0.35 + 0.25 – 0.50 = 0.10.

P(PF | CE’) = 0.25/0.65 = 0.3846

P(CE | PF) = 0.10/0.25 = 0.40

La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a tiempo es de 0.40.

Calcule la probabilidad de que el avión: a) Llegue a Houston dado que no llegó a tiempo a

Denver; b) Llegue a Houston dado que llegó a Tiempo a Denver.

P(D ) = 0.30; P(H) = 0.40; P(H’ ∩ D’ ) = 0.40

P(H | D’) = 0.30/0.70 = 0.4286

P(H | D) = 0.10/0.30 = 0.3333

En una encuesta realizada a 200 personas se obtuvieron los siguientes resultados :

TIPO DE PRODUCTO QUE PREFIERE

OCUPACION A B C D Total

AMA DE CASA 14 6 10 30 60

EMPLEADO 10 5 20 35 70

PROFESIONISTA 12 15 8 35 70

TOTAL 36 26 38 100 200

Si se selecciona al azar a una de estas 200 personas encontrar la probabilidad de que la persona :

Prefiera el producto C dado que se sabe que no es empleado.

P(C | EM’) = 18/130 = 0.13846

Sea profesionista dado que se sabe que le gusta el producto D.

P(PF | D) = 35/100 = 0.35

En un estudio realizado entre un grupo de profesionistas se determinó el grado de escolaridad máximo alcanzado y el nivel de ingresos. Los resultados se muestran en la tabla de abajo

INGRESOS

ESCOLARIDAD ALTOS MEDIOS BAJOS TOTAL

BACHILLER 18 27 5 50

PROFESIONAL 26 38 16 80

POSTGRADO 9 15 9 33

TOTAL 53 80 30 163

Si se selecciona al azar a un profesionista, encuentre la probabilidad de que:

Tenga ingresos altos dado que tiene escolaridad de postgrado.

P( A | PG) = 9/33 = 0.2727

Tenga escolaridad de bachiller dado que se sabe que tiene ingresos medios.

P(BC | M) = 27/80 = 0.3375

---La paradoja del falso positivo---

La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

$P(enfermo) = 1% = 0.01$ y $P(sano) = 99% = 0.99$

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

$P(positivo|sano) = 1%$ y $P(negativo|sano) = 99%$

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

$P(negativo|enfermo) = 1%$ y $P(positivo|enfermo) = 99%$

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

$P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%$

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

$P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(positivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

$P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(positivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

$P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%$

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

$P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap positivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

$P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%$

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: $P(enfermo) = 0,001$

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: $P(positivo|enfermo) = 0,99$

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: $P(positivo|sano) = 0,05$

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

$P(enfermo|positivo)=\frac{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)}{P(positivo)}$ $P(enfermo|positivo)= P(enfermo) \times \frac{P(positivo|enfermo)}{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)+P(sano) \times P(positivo|sano)}$ $P(enfermo|positivo)=\frac{ 0,001 \times 0,99 }{0,001 \times 0,99+0,999 \times 0,05}= 0,019= 1,9%$

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.

Densidad

Se denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numérico determinado (x). Se representa:

f(x) = P[X=x]

La suma de todas las densidades será igual a 1

${\sum_{todo_x} f(x)} = 1$

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS :

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés.

2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas.

3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados. Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables.

Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.

Las más útiles son:

1.- La distribución uniforme discreta.

2.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.

3.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica.

4.- La distribución de probabilidad de Poisson.

GRAFICA

Para las variables cuantitativas, consideraremos dos tipos de gráficos, en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas o relativas) o las frecuencias acumuladas:

Diagramas diferenciales:

Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas. En ellos se representa el número o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada.

Diagramas integrales:

Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido para variables cualitativas.

Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas. Vemos a continuación las diferentes representaciones gráficas que pueden realizarse para cada una de ellas así como los nombres específicos que reciben.

Gráficos para variables discretas

Cuando representamos una variable discreta, usamos el diagrama de barras cuando pretendemos hacer una gráfica diferencial. Las barras deben ser estrechas para representar el que los valores que toma la variable son discretos. El diagrama integral o acumulado tiene, por la naturaleza de la variable, forma de escalera.

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