Aplica la probabilidad simple y conjunta

Probabilidad Simple y Probabilidad Conjunta

PROBABILIDAD SIMPLE

Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio muestral E. Si la naturaleza del experimento permite considerar a cada uno de los resultados como “igualmente probables” diremos que: La probabilidad simple de un suceso es el cociente del número de casos favorables por el número de casos posibles.

Esta fórmula sólo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.

Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase “al azar”.

1)      Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 3 al arrojar un dado equilibrado.

2)      Se arrojan dos monedas, calcula la probabilidad de que salga una cara y una ceca.

3)      De una urna que contiene 6 bolillas blancas y 4 bolillas negras se extrae una bolilla al azar. Calcula la probabilidad de que la bolilla extraída sea blanca.

4)      De una caja que contiene 20 lápices negros y 8 rojos, se extraen 2 lápices al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos

a)      A: ambos sean negros

b)      B: sean de distinto color

5)      ¿Cuál es la probabilidad, en un grupo de 5 personas, de que no haya dos que cumplan años el mismo día?

EJERCICIOS:

Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

3. La probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de 1/6

porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.

4. En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre? 

Solución:

Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:

P=casos favorables/casos totales o posibles (P).

En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.

Así, la probabilidad pedida es

P= 12/32

5. En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres.Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

6. En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona está no sea mujer?

Solución:

Claramente nos piden la probabilidad de que al escoger una persona, esta sea hombre. Pues bien, si de los 30 alumnos, 18 son mujeres, entonces hay 12 hombres. Luego, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables a la selección 12/casos totales de la muestra 30

P=12/60

7. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabi

lidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

8. La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un as son 4.

Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).

Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=4/52

P=1/13

9. En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:

Solución:

Hay un total de 32 niños. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables (rubios o rubias)/ total de niños

P=(7 + 5)/(8 +12 +7 + 5)

P=12/32 8

P=3/8

10. Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:

Solución:

No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=cantidad de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles

P=1/2

11. Se lanzó un dado honesto –no cargado- dos veces, obteniéndose 4 en ambas oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4?

Solución:

Los dos lanzamientos previos ya no son de interés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es:

P= cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles

P=1/6

12. Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces obtiene cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?

Solución:

Los tres primeros lanzamientos ya no son deinterés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la  probabilidad de que en un solo lanzamiento se obtenga sello. Como hay dos resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: 1/2

13.Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:

Solución:

No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P=1/2

14. Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:

Solución:

Dan lo mismo los resultados del segundo y tercerlanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero. Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables/casos totales

P= 1/6

15. La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

16. Carolina lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de que ella obtenga un número menor que 3?

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 3 son {1, 2} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 21/63

17. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5?

Solución:

Sea A ≡Obtener un número par menor que 5 = {2, 4} ⇒#A = 2.

La probabilidad pedida es

P(A)=casos favorables/ casos totales

P(A) = 2/6

18. Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6?

Solución:

Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables.

La probabilidad pedida es=casos favorables / casos totales

P= 3/1

P=6/ 2

.

19. Se lanza un dado y se obtiene 3. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que sumado con 3 se obtenga un número inferior a 5?

Solución:

Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero el resultado que sumado con 3, resulta ser inferior a 5 es únicamente el uno.  Es decir, hay 1 caso favorable de 6 resultados en total tras el segundo lanzamiento. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P=casos favorable /casos totales

.P=1/6

20. De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?

Solución:

Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es

P= 1/25.

PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos. De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades. P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

1) E : espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) A  B : al menos uno de los eventos A ó B ocurre.

3) A  B : ambos eventos ocurren 

4) A^c : el evento A no ocurre.

Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

A = sale par, B = sale primo. 

El evento "A ó B" = A  B : "sale par o primo" se describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces 

P(A) = k/n, concordando con la definición de las probabilidades.

11. Un estuche contiene 3 lápices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lápices sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que esos lápices sean negros?

Solución:

P (1º lápiz negro) = casos favorables/ casos totales

P=2/5

12. Si lo datos fueran los mismos en el primer problema.Tras satisfacerse esta probabilidad, queda en el estuche 1 lápiz negro y 4 lápices en total.

P (2º lápiz negro) = casos favorables/ casos totales

P=1/4

13. La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P=(2/5)(1/4)

P=2/20

P= 1/10

14. En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

15. Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es

P= (2/5)(1/4)

P= (1/5)(1/2)

P= 1/10

16. En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

        A ≡La segunda ficha sea azul.

La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:

P (B)*P(A)

P= (10/15)(5/14)

P= (5/3) (1/7)

P=5/21

17. Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es

P=3/39

P=1/13

18. Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) =

P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)

P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)

P(abre 3º intento) = 6/24

P(abre 3º intento) = 1/6

19. De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y

la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos

A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas

 ⇒ P(A) = casos favorables hay un solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total  1

P=1/52

extraer un 4 de un mazo de 51 cartas.

⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales Quedan

  P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total

La probabilidad pedida es:

P(A) •P(B) = (1/52)(4/51)

20. Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:

P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)

P= (4! 4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)

P= 4•7!/52!

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI.

Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes.
Eventos mutuamente excluyentes

• Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
• Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
• Sacar una carta de tréboles roja.  Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

EJERCICIOS:

Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3

Canicas verdes: 4

Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posibilidad de sacar una canica roja

1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:

A caen 3 puntos o menos o

B caen 5 puntos o mas

Como son Mutuamente excluyentes AnB=0

P(AoB)=P(a)+P(B)Canicas azules: 3

=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)

=3/6 + 2/6

=5/6

Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.

Cual es la probabilidad de:

A sale un papel azul o

B sale un papel rojo

P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)

=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)

=10/50 + 15/50

=25/50

=1/2

Eventos independientes

En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.

Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una

P(AyB)=P(A)*P(B)

=7/20 * 12/20

=84/400

=81/100

En una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.

Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.

P(AyB)=P(A) * P(B)

=13/52 * 13/52

=169/2704

Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

Solución:

La probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos no pueden suceder a la vez,

P(A∩C) = 0.

Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es  la probabilidad de que este sea de matemática o de física?

Solución:

Sean los eventos

A ≡Tomar el libro de Matemáticas.

B ≡Tomar el libro de Física.

La probabilidad pedida es:

P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)  

Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0.

Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda:

P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5

En la tabla adjunta, X representa el númerode hijos por familia en un grupo de 20 familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos?

Solución:

El total de familias con uno o dos hijos son 6 + 3 = 9 de un total de 20 familias. La probabilidad pedida es

P=9/20

p =0,45

En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde?

Solución:

Hay 4 bolitas naranjas y 3 verdes, esto es, 7 casos favorables a lo pedido. Aplicando la definición de Laplace: casos favorables 7

P= casos favorables/ casos totales =7/9

En una bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul?

Solución:

P(roja o azul) =casos favorables/ casos totales

P = (cantidad de bolas rojas + cantidad de bolas azules)/ cantidad total de bolas en la bolsa

P =(3 + 4 )/( 3 + 2 + 4 )

P =7/9

En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 (es decir 10, 11, 12,..., 27, 28, 29, 30). La probabilidad de que al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es:

Solución:

Hay 21 tarjetas numeradas (se incluye la tarjeta 10). Las tarjetas cuya suma de dígitos da 3 ó 4 son: 12, 13, 21, 22 y 30. Cinco casos favorables en total.

La probabilidad pedida=casos favorables /casos totales

P= 5/21

Una caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. La probabilidad de que la bolita extraída sea roja o verde es

Solución:

Sea R≡extraer una bolita Roja.

V ≡extraer una bolita Verde.

Juntas suman 15 bolitas de un total de 20,lo cuál representa el 75% del total. Por lo tanto:

P(R∪V) = 0.75. Lo cual representa el 75%

Si escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante?

Solución:

Sean A ≡extraer una carta corazón.

         B ≡extraer un diamante.

Hay 13 cartas de cada pinta, luego:

P(A) = 13/52=1/4 = 0,25

P(B) = 13/52=1/4 = 0,25

La probabilidad de escoger un corazón o un diamante corresponderá a:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P= 0,25 + 0,25 – P(A∩B)

P(A∩B) = 0,5

Mientras que A∩B ≡{extraer una carta que sea corazón y diamante} = ∅entonces P(A∩B) = 0 Luego, queda únicamente en 0,5.

En una bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca?

Solución:

Sea A= Obtener una bola azul.

       B=Obtener una bola blanca

El espacio muestral es de 15 bolas en total. P(A∩B) =0 porque no hay bolas azules y blancas a la vez

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)        P(A∪B) = (5/15)+(7/15)

P(A∪B)=12/15                                       P(A∪B)=4/5

Se tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par?

Solución:

Se tienen 16 números en total, de los cuáles 8 son pares y 8 impares.

Los modos de obtener números cuya suma sea par, solo puede ocurrir de dos formas:

i)                   A ≡Extraer dos bolitas pares.

ii)                B ≡Extraer dos bolitas impares.

Aparte de ser cada uno de los eventos sin reposición, son también mutuamente excluyentes entre sí. No puede ocurrir simultáneamente, que las bolitas sean pares e impares, así que

P(A∩B) = 0

Por lo tanto, la probabilidad pedida, que puede ocurrir de dos formas por separado A∪B, es:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) donde P(A∩B) = 0

P(A∪B)= (8/16)(7/15)+ (8/16)(7/15)

P(A∪B)=2 ((1/2)(7/15))

P(A∪B)= 7/15

¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 5 ó 7 al lanzar simultáneamente dos dados?

Solución:

La base del espacio muestral son los resultados otorgados por el lanzamiento de un dado.

E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒#E’=6

Para n dados, el número de casos es #E = (#E’ ^n).

Y para n = 2 dados: #E = (#E’^2)= 6^2=36

El espacio muestral está formado por 36 elementos, a los que hemos asociado un par ordenado de números, que indican los resultados del primer y segundo dado.

Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los puntos en una sola tirada.

La probabilidad pedida viene dada por:

 P(S = 5) + P(S = 7)

Veamos el número de casos favorables para obtener cada suma y su respectiva probabilidad.

S =5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒P(S = 5) =4/36

S = 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ⇒P(S = 7) =6/36

Finalmente

46105

P(S = 5) + P(S = 7) =4/36 +6/36 =10/36 =5/18

Se lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya suma sea 5 ó 12 es

Solución:

Se trata de la probabilidad de una unión de eventos mutuamente excluyentes, pues no hay dos

números cuya suma sea 5 y 12 a la vez. Por lo tanto, se utiliza la expresión:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Donde: A ≡obtener dos números cuya suma sea 5;

             B ≡obtener dos números cuya suma sea 12;

Los casos favorables a obtener suma 5 son: A = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}. Así,

P(A) =3/36

.

Mientras que el evento B solo puede suceder con {(6,6)}. Así,

P(B) =1/36

.

Finalmente, reemplazamos los valores de

P(A) y P(B)  obteniendo:

P(A∪ B) =4/36 + 1/36 =5/36

Al lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la

probabilidad de que el puntaje sea menor que 4 ó mayor que 11?

Solución:

Sean A =Obtener un número menor que 4.

         B=Obtener un número mayor que 11.

La tabla de doble entrada de la derecha nos muestra que hay 3 casos favorables a A y 1 a B. Como los eventos son mutuamente excluyentes:

P(A∪ B)= P(A)+ P(B)

P(A∪ B)= (3/36)+(1/36)

P(A∪ B)=4/36

P(A∪ B)=1/9

Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de obtener 10, como mínimo, en la suma de los puntos de una sola tirada?

Solución:

Consideremos los resultados posibles tras lanzar un par de dados. Asociando un par ordenado de valores que represente los resultados posibles del primero y segundo dado respectivamente. El espacio muestral o todos los casos posibles tras lanzar dos dados viene dado por:

En este caso el espacio muestral está formado por 36 elementos.

Sea S la variable aleatoria que indique la suma de los

puntos en una sola tirada.

P(S ≥10) = P(S = 10) + P(S = 11) + P(S = 12)

Veamos el número de casos favorables para cada suma.

S=10 = {(4,6), (5,5), (6,4) } ⇒P(S = 10) =3/36

S=11 = {(5,6), (6,5)} ⇒P(S = 11) =2/36

S=12 = {(6,6)} ⇒P(S = 12) =1/36

Finalmente,

P(S≥ 12) =(3+2)/36=6/6 = 1

En una carrera de 100 metros planos, compiten cuatro atletas: A, B, C y D. Si A tiene el doble de probabilidad de ganar que B; C tiene la mitad que B de ganar y la probabilidad de D es igual a la de A. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de ganar C es 2/11

II) La probabilidad de que A no gane es de 7/11

III) La probabilidad de que A o C ganen es de 5/11

Solución:

La menor probabilidad de ganar la tiene C.

Sea P(C) = x ⇒P(B) = 2x ⇒P(A) = 4x ⇒P(D) = 4x.

Los eventos A, B, C y D son mutuamente excluyentes.

∑Pi=1

⇒x+2x+4x+4x=1

⇒11x = 1

⇒x=1/1

⇒P(C)=1/11;P(B)=3/11;P(A)=4/11;P(D)=4/11

I)Es falsa.

II)La probabilidad de que A no gane es:

    1-P(A)=1-(4/11) =7/11

 Es verdadera.

III) La probabilidad de que A o C gane es:

      P(A∪C) = P(A) + P(B) – P(A∩C)

Como los eventos son mutuamente excluyentes,

       P(A∩C) = 0.

Por lo tanto, la probabilidad de la unión de eventos queda:

       P(A∪C) = P(A) + P(C) =(4/11)+(1/11)=5/11

Es verdadera.

 Sólo II) y III) son verdaderas.

                           MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES

Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5?

Solución:

Como son 19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es

 #E = 19.

Sean los eventos:

A ≡Obtener un número múltiplos de 3

B ≡Obtener un número múltiplos de 5.

Si podemos identificar la cantidad de elementos del espacio muestral A∪Blo resolvemos

directamente como sigue:

A∪B = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18}

⇒# A∪B = 8

⇒P(A∪B)= #(A ∪B)/ #E =8/19

Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20?

Solución:

Los casos totales de ser escogidos son 50. Y los números menores que 20 que son múltiplos de 3 son

[19:3]= 6 casos favorables.

Donde los corchetes

[]: Indican la parte entera de la división. Luego

 la probabilidad pedida es

P=6/50=3/25

Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

Solución:

Sea los siguientes eventos tras el lanzamiento de un dado.

Sean A ≡obtener un número par

⇒A = {2, 4, 6} B ≡obtener un número menor que 5

⇒B = {1, 2, 3, 4} A∪B = {1, 2, 3, 4, 6}

⇒# A∪B = 5

⇒P (A∪B) =#(A B)/#E=5/6

Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par o número menor que 10 es:

Solución:

Al extraer una bola, tenemos 36 casos posibles o totales. Y Los casos favorables a extraer un número par, o menor que 10 son:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}

La probabilidad pedida es

P= casos favorables/ casos posibles =23/36

EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Eventos Independientes: Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento o eventos. 

Un caso típico de eventos independientes es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. Por definición, A es independiente de B si y sólo si A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si A es independiente de B si y sólo si: (PnA)=P(A)P(B).

Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro o otros. Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. 

La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A si el evento B ya ocurrió.

EJERCICIOS:

 Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

                             P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

Un departamento de mantenimiento recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una llamada llegue dentro de media hora es:

Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora  = 2,5/media hora .ltenemos que 

P (T < 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792

P(A ∩B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta alazar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos

A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes

A ∩B = entonces:

  

 P(A ó B) = P(A ∩B) = P(A) + P(B)

       = P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.

P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac):

P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: 

A ∩B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)

= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es 

P(A y B) = P(A ∩B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6) = 1/12      

P (A ∩B) = P(A)•P(B/A) ó P(B/A) = P(A ∩B)/ P(A) [P(B/A)

Es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones? 

Debemos calcular P(as/corazón).

La probabilidad de "as y corazón" es 1/52.

La probabilidad de corazón es 13/52.

Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

 Probabilidad de eventos independientes

 Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros.De manera que las probabilidades de sello

(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P(tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2

En tres lanzamientos independientes entre sí, el resultado de uno no afecta los otros resultados. En tal caso, las probabilidades de cada evento -de salir cara en este caso-, se multiplican entre sí:

P=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8

Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?

Solución:

Sea A ≡Obtener un rey de un mazo de 52 cartas.

Hay 4 reyes en el mazo. Por lo tanto,

P(A) =4/52=1/13

Al reponer la carta, cada extracción es independiente de la anterior, esto quiere decir que no se ve afectado el valor de obtener la misma probabilidad de obtener un rey. Además, por ser eventos independientes, se multiplica el valor según el número de extracciones con reposición que hay, que son dos.

Así

P(extraer dos reyes en dos extracciones y con reposición) =(1/13) •(1/13) =1/69

En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 fichas, con reposición, éstas sean amarillas?

Solución:

Definamos A como el evento:

“extraer una bola amarilla”.

Así, si

P = es la probabilidad de extraer una sola bola amarilla

P=casos favorables números de amarillas/casos totales número total de bolas=3/(3+6)=3/9=1/3

Como una extracción no afecta a la otra, pues se repone labola sacada, no afectando al número de bolas del color sacado, ni al total de bolas que hubo inicialmente, para el caso de otra extracción. Por tanto, estamos frente a eventos independientes. Y el evento A se repite dos veces para satisfacer lo pedido. Así, extraer dos bolas amarillas es simplemente repetir el evento A, siguiendo un principio multiplicativo para extracciones con reposición y de modo más general, para eventos independientes.

 P=(1/3)(1/3)= 1/9

El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar elcilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, laprobabilidad de que salga el disparo es

1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego

5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es:                                             5/6= primer juego

         (5/6)(5/6)=25/6                           5/6= segundo juego

Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?

Solución:

Sean los eventos:

A ≡Obtener un 3. De seis números posibles, hay un solo 3 ⇒P(A) =1/6

B ≡Obtener un número impar. De seis números posibles, tenemos tres impares⇒ P(B) =3/6 =1/2

Los eventos A y B son independientes, por lo tanto, P(A∩B) = P(A)•P(B)=

(1/6)(1/2)= 1/12

Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo?

Solución:

Solo debe adivinar dos dígitos, el primero y el último. Las posibilidades para el primer número son par y distinto de cero: 2, 4, 6, 8. Las posibilidades para el segundo número son impar y mayor que cuatro: 5, 7,

Sean los eventos:

A ≡Acertar el primer dígito.

B ≡Acertar el segundo dígito.

 A∩B ≡Acertar los dos dígitos.

Entonces P(A) =1/4

Entonces P(B) =1/3

Como son eventos independientes, la probabilidad de acertar los dos dígitos en el número telefónico de su amigo es el producto de ambas probabilidades:

P(A∩ B) = P(A) •P(B)=(1/4)(1/3)=1/12

Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?

Solución:

Cada pregunta tiene dos respuestas posibles, las que constituyen los casos totales. El caso favorable a cada respuesta

correcta es una en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de responder correctamente una pregunta es:

P(1 correcta) = 1/2

Responder cada pregunta constituye un evento independiente a las otras respuestas. Por lo tanto, se multiplica los resultados probables de

acertar cada una de las 5 preguntas. Así, la probabilidad pedida es:

P(5 correctas) = (1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2) =(1/2) ^5

Un test de selección múltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas siendo sólo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas?

Solución

Hay una alternativa correcta de un total de cuatro en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una es ¼

Como cada pregunta es independiente de las otras, la probabilidad final es el producto de las probabilidades de cada una delas 40 preguntas. Es decir,

P(30 aciertos) =  (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)                                               (1/4) (1/4) (1/4)(1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)                   

                    (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)

 = (1/4) ^30

Un alumno contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matemáticas al

azar. Si cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de éstas es corre

cta, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo?

Solución:

Hay una alternativa correcta de un total de cinco en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una esuna de cuatro, es decir,

P(x = 1) = 1/5

Para obtener el puntaje máximo se debe acertar las 70 preguntas, independientes entre sí. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P(x = 70) =  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

P(x = 70) =   (1/5) ^70

Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

Solución:

Sea x la variable que indica el número de veces que se acierta una pregu

nta. Entonces, si la respuesta correcta se halla entre dos alternativas, la probabilidad de acertar una pregunta es una de dos, es decir:

P(x = 1) = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2) ^5=1/32

Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde

al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de

½.

Como todas las etapas son independientes, pa

ra 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P=(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) =(1/2)^6 =1/64

Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2

entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de f

ondo y 3 de los postres. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado si la elección es el azar?

Solución:

Todo menú tendrá finalmente 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre y la composición de cada uno de estos es independiente de los otros. Así, tendremos de seguro, varias probabilidades que multiplicar. Denotemos las probabilidades de obtener entrada, fondo y postre de mi agrado, con P(entrada), P(fondo) y P(postre) respectivamente. En la siguiente expresión consideramos en los numeradores solo los casos favorables que sean del agrado, mientras que en los denominadores,a la cantidad total de posibilidades de componerlos. Así, la probabilidad de obtener un menú de mi agrado es:

P(entrada) • P(fondo) • P(postre) =(2/2) •(3-2)/3•(5-3)/5 = 1•(1/3) •(2/5) =2/5

a) Probabilidad de sucesos independientes

b) Probabilidad de sucesos dependientes